It seems the Hungarian theme is based on a popular folk song, "Hej, Dunáról fúj a szél". It is usually taught in kindergardens and elementary schools, and shares many similarities with other classic folk songs.
For anyone interested, the lyrics of the most frequent version are as follows (see the translation below):
"Hej, Dunáról fúj a szél,
szegény embert mindig ér,
Dunáról fúj a szél.
Ha Dunáról nem fújna,
ilyen hideg sem volna,
Dunáról fúj a szél.
Hej, Dunáról fúj a szél,
feküdj mellém, majd nem ér,
Dunáról fúj a szél.
Nem fekszem én kend mellé,
úgy sem leszek a kendé,
Dunáról fúj a szél.
Hej, Jancsika, Jancsika,
mért nem nőttél nagyobbra,
Dunáról fúj a szél.
Nőttél volna nagyobbra,
lettél volna katona,
Dunáról fúj a szél."
English translation:
"Hey, the wind blows from the Danube
and it always blows on the poor man
the wind blows from the Danube.
It it wouldn't blow from the Danube
it wouldn't be so cold now
the wind blows from the Danube.
Hey, the wind blows from the Danube,
lie next to me, so it won't reach you
the wind blows from the Danube.
I won't lie next to thee
I won't be yours anyway
the wind blows from the Danube.
Hey, Jancsika, Jancsika (Jancsika is similar to the name "Johnny")
why didn't you grow taller
the wind blows from the Danube.
You should have grown taller,
you could have been a soldier
the wind blows from the Danube."
You can listen to an authentic version here: